线代笔记

行列式的变换

行列式的计算

三角形行列式的计算

三角形行列式很好算，结果就等于主对角线的乘积。

范德蒙行列式的计算

范德蒙行列式的结果就等于公比元素作差再相乘。并且这个作差是后边的减去前边的。

爪形行列式的计算

爪形行列式通常化为三角形行列式进行计算。

一种与余子式有关的特殊题型

利用拆和的方法计算行列式

利用拉普拉斯公式计算行列式

矩阵

矩阵的乘法

矩阵乘法取第一个矩阵的行和第二个矩阵的列

注意：

抽象矩阵求逆矩阵

数字型矩阵求逆

对于较小的矩阵如二阶方阵，一般使用伴随矩阵法直接秒，而高阶方阵一般都使用初等行变换法，通过构造增广矩阵并进行初等变换来提取逆矩阵。

求解矩阵方程

只要一步步解就行了

方阵的行列式

这里主要讲几个公式：

矩阵的秩

• 行阶梯型矩阵就是每一行的第一个非零元素所在的列都比下一行的第一个非零元素所在的列更靠前。
  设 A 为一个矩阵，那么通过初等行变换将矩阵 A 转化为行阶梯型矩阵 B 之后，矩阵 B 中非零行的个数即位矩阵 A 的秩的值。

向量组的线性相关性

判断数字型向量组的线性相关性

多个向量组成的向量组 线性相关,等价于这个向量组组成的方阵的行列式等于零，或者这个向量组组成的矩阵 的秩 小于向量组中 向量的个数。

还有一些定理：

• 向量组中向量的个数大于维数则相关
• 如果向量组中有部分相关则整组相关

判断抽象型向量组的线性相关性

我们要学会把一个由复杂向量组组成的矩阵拆解成一个由简单向量组组成的矩阵与另一个矩阵相乘的形式.
记住一个结论：

• 无关组×可逆阵 -> 无关组
• 无关组×不可逆阵 -> 相关组

求向量组的秩和最大无关组

• 向量组的秩就等于由该向量组组成的矩阵的秩。
• 向量组的最大无关组可以直接取由该向量组组成的矩阵经过初等行变换形成的行阶梯型矩阵中拐弯处所在的列向量。

线性方程组

齐次方程组 A*x=0 的求解

• 如果系数矩阵的秩等于未知数个数，则方程只有零解（唯一解）
• 如果系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程有非零解（无穷解）

基础解系

当方程有无穷解时，解集的最大无关组称为基础解系，基础解系所含解向量的个数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩

• 基础解系的求法：
  1. 把系数阵化为行最简形（阶梯下面的元素全为零，拐角处的元素全为一）
  2. 将第一步得到的行最简形阵当作系数阵，写出一个齐次方程组，这是原方程组的同解方程组。
  3. 由同解方程组根据自由变量的数量，可以用自由变量表示其它变量，并写出由所有变量的值组成的解向量
  4. 拆解解向量，可以将其拆解为基础解系

通解

通解即为基础解系的线性组合.

非齐次方程组 A*x=b 的求解

• 如果系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程无解

• 如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩

  • 小于未知数个数，则方程有无穷解。
  • 等于未知数个数，则方程有唯一解。

• 非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的特解

• 求通解的具体步骤：

  1. 求出齐次方程组的基础解系，线性组合得到齐次方程组的通解
  2. 按照求基础解系的方法取得非齐次方程组的特解
  3. 把两者相加