高数下笔记

多元函数微分学

二重极限的计算

二重极限有这么几个计算方法：

对于非零元素可直接带入得到极限
对于整体元素，可以还原变成一元极限计算
对于0元素，可以使用等价无穷小替换

偏导数的计算

一阶偏导数

一般情况：
直接将其它变量当作常量进行求导即可
复合函数求偏导：
链式法则，同枝相乘，异枝相加

二阶偏导数

直接先求一阶导，再求二阶导就行了

多元函数全微分

全微分就是函数关于各个自变量的偏导与自变量的微分之积的和

多元隐函数的偏导数

直接对方程两遍同时求偏导再解方程即可，与一元隐函数求导的方法相同。

多元函数求极值

条件极值/最值

使用拉格朗日乘数法：

二重积分

非圆周区域上二重积分的计算

首先确定积分区域的类型，x 型区域先积 y 再积 x；y 型区域先积 x 再积 y。

特殊情况

有时候会遇到一些不可积函数，但是可能是对 y 不可积，但是对 x 却可积。在这种情况的题目中，一般都是可以选 x 型区域，也可以选择 y 型区域。这时候我们就要注意这种情况进行合理的区域类型选取。

example:

圆周相关区域上二重积分的计算

当积分区域与圆有关，或者北极函数含有 $x^2 + y^2$ 时，利用极坐标进行计算

分段函数的二重积分

直接分段计算：

三重积分

投影法(“先一后二”)

利用平面截割法(“先二后一”)

如果被积函数是关于 z 的一元函数，那么如果先做关于 x 和 y 的积分肯定更简单，这时候就可以采用平面截割法。

利用柱面坐标求三重积分

如果积分区域是圆柱体，圆锥体或者旋转体的话，用柱面坐标。
柱面坐标系其实就是在平面极坐标系的基础上加上 z 轴。

利用球坐标计算三重积分

如果积分区域跟球面有关系的话，就使用球坐标系。

曲线积分与曲面积分

弧长曲线积分(第一类曲线积分)

被积变量是弧长元 S，则为弧长曲线积分

坐标曲线积分(第二类曲线积分)

被积变量是坐标 x 或者 y，则为坐标曲线积分。
这个其实很简单，比弧长曲线积分简单一些。

利用格林公式求第二类曲线积分

这个一般用于求闭合曲线积分。

面积曲面积分(第一类曲面积分)

坐标曲面积分(第二类曲面积分)

利用高斯公式求第二类曲面积分

无穷级数

判断正项级数的敛散性

正项级数的审敛：1.比值法 2.根值法 3.展开求极限

交错级数的审敛法

莱布尼兹审敛法。